電気回路[直流]/ 電磁気学/ 電気回路[交流]/ 電気回路[三相交流]/ 電子回路
科学の部屋[工学・化学]
オームの法則
オームの法則とは電気回路で二点間の電圧はそこに流れる電流に比例する。電圧は電流と抵抗の積で表される。
$$Ｖ＝ＲＩ。電圧[V]＝抵抗[Ω]×電流[A]$$
$$電力[W]：Ｐ＝ＶＩ＝ＲＩ^2$$
合成抵抗
複数の抵抗が一つであった場合の抵抗値の計算方法。多くの場合直列接続と並列接続の複合型なので、それぞれの計算方法がわかっていれば多くの電気回路の合成抵抗が計算できる。
直列接続
抵抗が直列に接続されている場合は、各抵抗値の和で合成抵抗があらわされる。
電流はどの抵抗も同じものが流れる。電圧は抵抗に応じて分配される。
$$Ｒ＝Ｒ_1＋Ｒ_2。Ｖ＝Ｖ_1＋Ｖ_2。Ｉ＝\frac{Ｖ}{Ｒ}$$
$$Ｖ_1＝\frac{Ｒ_1}{Ｒ_1＋Ｒ_2}Ｖ、Ｖ_2＝\frac{Ｒ_1}{Ｒ_1＋Ｒ_2}Ｖ$$
並列接続
抵抗が並列に接続されている場合は、合成抵抗の逆数が各抵抗値の逆数の和で表される。
電流は抵抗値に応じて分配される。電圧はどの抵抗にも同じものがかかる。
$$\frac{１}{Ｒ}＝\frac{１}{Ｒ_1}＋\frac{１}{Ｒ_2}、Ｒ＝\frac{Ｒ_1Ｒ_2}{Ｒ_1＋Ｒ_2}$$
$$Ｉ＝Ｉ_1＋Ｉ_2、Ｉ_1＝\frac{Ｒ_2}{Ｒ_1＋Ｒ_2}Ｉ、Ｉ_2＝\frac{Ｒ_1}{Ｒ_1＋Ｒ_2}Ｉ$$
$$直列接続の合成抵抗 R_1 + R_2 = \frac{30[V]}{6[A]} = 5[\Omega]$$ $$並列接続の合成抵抗 \frac{R_1R_2}{R_1＋R_2} = \frac{30[V]}{25[A]} = 1.2[\Omega]$$ $$R_2 = 5 - R_1 を並列接続の合成抵抗の式に代入 $$ $$\frac{R_1(5 - R_1)}{R_1＋5 - R_1} = 1.2, R_1^2 -5R_1 + 6 =0$$ $$R_1 = 2,3 ,R_2 = 3,2 よってAns（４）$$
１．図の直流回路においてR=20[Ω]の場合の回路の合成抵抗を求めよ。
$$30 + \frac{12 \times 20}{12 + 20}=37.5[\Omega]$$
２．12[Ω]の抵抗の消費電力を求めよ。
$$抵抗30[\Omega]に流れる電流I_{30} = \frac{90}{37.5} = 2.4[A]$$ $$抵抗12[\Omega]に流れる電流I_{12} = \frac{20}{12 + 20} \times I_{30} = 1.5[A]$$ $$消費電力は、12 \times {1.5}^2 = 27[W]$$ $$$$
キルヒホッフの法則
電気回路における電流と電圧の総和の法則。
第一法則：任意の節点に流入する枝電流の和は０。ある点に対して入ってくる電流の総和と出ていく電流の総和は等しい。
$$Ｉ－Ｉ_1－Ｉ_2＝０$$
第二法則：任意の閉路において、閉路の沿った枝電圧の和は０。一筆書きできる電気回路の一部分では電圧の総和が０になる。
$$Ｖ＝Ｒ_1 Ｉ_1、０＝（Ｒ_2＋Ｒ_3）Ｉ_2－Ｒ_1Ｉ_1、Ｖ＝（Ｒ_2＋Ｒ_3）Ｉ_2$$
$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} I_1 = I_2 + I_3\\ 4I_1 + 5I_3 -4 =0\\ 2I_2-5I_3 -2 = 0\nonumber \end{array} \right. \end{eqnarray}$$ $$連立方程式を解くと、I_1 = 1, I_2 = 1, I_3 = 0。 Ans（３）$$
$$閉路に還流する電流I_1,I_2,I_3を図のように定義。I_2を求める$$ $$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 60 = 40I_1 + 40(I_1 - I_2)\\ 0 = 10I_2 + 60(I_2 + I_3) + 40(I_2 -I_1)\\ 80 = 60I_3 + 60(I_3 + I_2)\nonumber \end{array} \right. \end{eqnarray}$$ $$式を変形して\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 60 = 80I_1 -40I_2\\ 0 = 110I_2 + 60I_3 - 40I_1\\ 80 = 120I_3 + 60I_2\nonumber \end{array} \right. \end{eqnarray}$$ $$連立方程式を解いてI_2 = -\frac16$$ -が付いてるので設定の電流の向きが逆 $$消費電力は 10 \times (\frac{1}{6})^2 = 0.28[W] . Ans(１)$$ $$$$ $$$$ $$$$
ブリッジ回路
$$ブリッジ回路の平衡条件：Ia = 0の時$$
$$R_1R_4 = R_2R_3$$
$$平衡状態なので、2R_4 = 8R_3→R_4 = 4R_3$$ $$合成抵抗は、\frac{E[V]}{\frac{E}{4}[A]} = 4$$ $$= \frac{2 \times 8}{2 +8} + \frac{4R_3^2}{R_3 + 4R_3}$$ $$R_3^2 = 3R_3 R_3 \ne 0 なので、$$ $$R_3 = 3。Ans（３）$$ $$$$
スイッチを開閉しても電流が変わらないので、平衡状態。スイッチに流れる電流は０ $$合成抵抗は\frac{100[V]}{30[A]} = \frac{10}{3}[\Omega]$$ $$スイッチが閉じている時、R_3,R_4の合成抵抗は、\frac{10}{3} - \frac{8 \times 4}{8+4}$$ $$\begin{equation}= \frac{2}{3} = \frac{R_3 \times R_4}{R_3 + R_4} \tag{①} \end{equation}$$ $$平衡条件より \begin{equation}8 R_4 = 4 R_3 → 2R_4 = R_3 \tag{②} \end{equation}$$ $$①、②より、R_4 = 1[\Omega]。Ans（２）$$ $$①の代わりに、スイッチが開いている場合の電流$$ $$30[A] = \frac{100}{8 + R_3} + \frac{100}{4 + R_4}を用いてもよい $$
重ね合わせの理
回路中に電圧源E1,…,Em、電流源J1,…,Jnがあるとき、回路中の任意の電圧・電流は次の（m+n）この場合に対する解を加え合わせれば得られる。
（E1=E1,E2=0,…,Jn=0）,（E1=0,E2=E2,…,Jn=0）,…,（E1=0,E2=0,…,Jn=Jn）E=0：短絡、J=0：開放
$$スイッチが開いている場合 I_R = I = 2[A]$$ $$スイッチが閉じている場合 I_R = 2I = 4[A]$$ $$スイッチが閉じている場合のI_Rは、低電圧源Eを短絡した場合の電流I_{RI}と$$ $$定電流源Iを開放した場合の電流I_{RE}との和になる。$$ $$I_{RI} = \frac{r}{r+R}I = \frac{2}{1+R}$$ $$I_{RE} = \frac{E}{r+R} = \frac{10}{1+R}$$ $$I_R = I_{RI} + I_{RE} = \frac{2}{1+R} + \frac{10}{1+R} = 4 → R = 2$$
２[V]の電源を短絡した回路と４[V]の電源を短絡した回路に分ける。それぞれの回路で求めたI1,I2,I3を足し合わせると元の回路の電流になる。I3の向きに注意する。
$$合成抵抗は4 + \frac{2 \times 5}{2+5} = \frac{38}{7}$$ $$I_1 = 4 \div \frac{38}{7} = \frac{14}{19}$$ $$I_2 = \frac{14}{19} \times \frac{5}{7} = \frac{10}{19}, I_3 = \frac{14}{19} \times \frac{2}{7} = \frac{4}{19}$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$
$$合成抵抗は2 + \frac{4 \times 5}{4+5} = \frac{38}{9}$$ $$I_2 = 2 \div \frac{38}{9} = \frac{9}{19}$$ $$I_1 = \frac{9}{19} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{19}, I_3 = \frac{9}{19} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{19}$$ $$二つの回路の電流を足し合わせると、I_1 = \frac{14}{19}+\frac{14}{19} =1,$$$$ I_2 = \frac{10}{19} + \frac{9}{19} = 1, I_3 = \frac{4}{19}-\frac{4}{19} =0。 Ans（３）$$
テブナンの定理
N0とNは独立した回路で、N0には内部電源を持ちNにはない。$$N0とNをつなぎN0からNに流れる電流Ｉは\frac{Ｖ_0}{Ｚ_0＋Ｚ}$$
$$Ｖ_0はN0の開放電圧、ＺはNのインピーダンス、Ｚ_0はN0の内部電源をなくした状態でのインピーダンス。$$（インピーダンスは電圧と電流の比。直流回路だと抵抗）
使用例
$$電流を求めたい部分で回路を分ける（N0とNに相当）$$
$$Ｖ_0を求める。$$
$$Ｚ_0を求める。（N0内の内部電源をなくして合成抵抗を求める[電圧源は短絡、電流源は開放]）$$
$$Ｚを求める。（Nの合成抵抗を求める）$$
$$電流Ｉ＝\frac{Ｖ_0}{Ｚ_0＋Ｚ}を計算する。$$
$$電流を求めたい部分(抵抗R)で回路を分ける$$
$$V_0 = \frac{60}{2} - \frac{40}{2} = 10$$ $$Z_0 = \frac{40 \times 40}{40 + 40} + \frac{60 \times 60}{60 + 60} = 20 + 30 =50$$ $$Z = R =10$$ $$I = \frac{V_0}{Z_0＋Z} = \frac{10}{50 + 10} = \frac16$$ $$消費電力はRI^2 = 10 \times \frac{1}{6}^2 = 0.28[W] . Ans(１)$$ $$$$ $$$$
$$電流を求めたい部分(抵抗R)で回路を分ける$$
$$V_0 = E = 9V$$ $$Z_0 = \frac{0.1}{4} = 0.025\Omega$$ $$Z = R = 0.5\Omega$$ $$I = \frac{V_0}{Z_0＋Z} = \frac{9}{0.025 + 0.5} = 17.143$$ $$消費電力はRI^2 = 0.5 \times 17.143^2 = 146.9[W] . Ans(２)$$ $$$$ $$$$
ノートンの定理
$$Ｖ＝\frac{Ｉ_0}{Ｙ_0＋Ｙ}$$
Ｖ：Nの端子間にかかる電圧。Ｉ0：N0単独の短絡電流（端子間を短絡）。Ｙ0：N0内部電源を外した後の合成アドミタンス。Ｙ：Nの合成アドミタンス（アドミタンスは電流と電圧の比。直流回路だと抵抗の逆数）
静電容量とコンデンサ
$$Ｑ＝ＣＶ、Ｃ＝\frac{Ｑ}{Ｖ}.静電容量[F]＝\frac{電荷[C]}{電圧[V]}$$
$$Ｑ＝σＳ.Ｃ＝\frac{σＳ}{Ｖ}＝\frac{εＳ}{d}.(Ｅ＝\frac{σ}{ε}.Ｖ＝Ｅ d ＝\frac{σd}{ε})$$σ：表面電荷密度[C/m2]、Ｓ：コンデンサの極板面積[m2]、d：極版間距離[m]、ε：比誘電率[F/m]、Ｅ:コンデンサ内の電界の強さ[V/m]
$$静電エネルギーW = \frac12QV = \frac12CV^2 [J]$$
$$(1) Ｑ＝ＣＶ →Ｑ＝Ｃ\frac{σd}{ε}→Ｃ＝\frac{Ｑσ}{ε}\frac1d よって○$$
$$(2)Ｑ＝ＣＶ →Ｑ＝ＣＥ d＝\frac{εＳ}{d}Ｅ d = εＳＥ →Ｅ ＝\frac{Ｑ}{εＳ}よって×$$
$$(3)Ｑ＝ＣＶ →Ｑ＝\frac{εＳ}{d}Ｖ →Ｖ＝\frac{Ｑ}{εＳ}dよって○$$
$$(4)Ｖ＝Ｅ d → Ｅ＝\frac{Ｖ}{d}よって○$$
$$(5)Ｑ＝\frac{εＳ}{d}Ｖよって○$$
$$W = \frac12CV^2 = \frac12(\frac{εＳ}{d})(\frac{E}{d})^2 = \frac12 ε E^ (Sd) = \frac12 ε E^ V $$ $$よってAns（４）$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$
$$比誘電率\varepsilon_S：真空中の誘電率\varepsilon_0との比 \varepsilon = \varepsilon_S \varepsilon_0$$ $$導体中の電界、電位差０（電荷が導体の表面に集まるため）$$ $$電束密度D = \frac{Ｑ}{Ｓ}=\varepsilon E [C/m^2]$$
$$（ア）Ｖ＝Ｅ d より、E_1 = \frac{V_0}{d},E_2 = \frac{V_0}{d}$$ $$（イ）D = \varepsilon Eより、D_1 = {\varepsilon_0\varepsilon_1}{d}V_0,D_2 = {\varepsilon_0\varepsilon_2}{d}V_0$$ $$（ウ）Ｑ＝ＣＶ,\frac{\varepsilonＳ}{d}（D = \frac{Ｑ}{Ｓ}）より、Q_1 = {\varepsilon_0\varepsilon_1}{d}SV_0,Q_2 = {\varepsilon_0\varepsilon_2}{d}SV_0$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$
$$極板A-P間とQ-B間を別々のコンデンサと考える。両者の電荷Qは一緒。極板の面積をSとする。$$ $$C_{AP} = \frac{\varepsilon_r\varepsilon_0}{\frac12}, C_{QB} = \frac{\varepsilon_r\varepsilon_0}{\frac14}→C_{AP} = 2C_{QB}$$ $$Ｑ＝ＣＶより2V_{AP} = V_{QB},V_{AP} =\frac{2}{3}V_0,V_{QB} = \frac13V_0$$ $$導体中の電位差０なので、V_P = V_0 - V_{AP} = V_Q = V_{QB} = \frac13V_0 。Ans（４）$$ $$$$ $$$$ $$$$
合成容量
複数のコンデンサが一つであった場合の合成静電容量の計算方法。多くの場合直列接続と並列接続の複合型なので、それぞれの計算方法がわかっていれば多くの電気回路の合成静電容量が計算できる。合成抵抗の時と違うので注意が必要。
直列接続
どのコンデンサにも同じ電荷が貯まる。電圧は静電容量に応じて分配される。合成静電容量の逆数は各コンデンサの静電容量の逆数の和で表される。
$$Ｖ＝Ｖ_1＋Ｖ_2。Ｑ＝Ｑ_1＝Ｑ_2。Ｖ_1＝\frac{Ｑ}{Ｃ_1} = \frac{C_2}{C_1 + C_2}V、Ｖ_2＝\frac{Ｑ}{Ｃ_2} = \frac{C_1}{C_1 + C_2}V。$$
$$\frac{１}{Ｃ}＝\frac{１}{Ｃ_1}＋\frac{１}{Ｃ_2}、Ｃ＝\frac{Ｃ_1 Ｃ_2}{Ｃ_1＋Ｃ_2}$$
並列接続
二つのコンデンサにかかる電圧は一緒。電荷は静電容量によって決まる。合成静電容量は各コンデンサの静電容量の和。
$$Ｑ_1＝Ｃ_1 Ｖ、Ｑ_2＝Ｃ_2 Ｖ。Ｑ＝Ｑ_1＋Ｑ_2 、Ｃ＝Ｃ_1 ＋Ｃ_2 $$
$$直列接続の合成容量\frac{2C^2}{C+2C} = \frac23C$$ $$静電エネルギー\frac12\frac23C {V_1}^2$$ $$並列接続の合成容量3C$$ $$静電エネルギー\frac123C{V_2}^2$$ $$両者の静電エネルギーが等しいので\frac13{V_1}^2 = \frac32{V_2}^2$$ $$V_1 = \frac{3}{\sqrt 2}V_2$$ $$V_c = \frac23 V_1 → |\frac{V_c}{V_2}| = \sqrt2$$
$$図１でQ_1 = Q_2 V_1 = \frac{2}{4+2}6V = 2V,Q_1 = 2 \times 4 = 8[\mu C]$$ $$図２でQ_1 + Q_2 = 16[\mu C] V_1 = V_2,\frac{2}{2+4}Q_1 = \frac{4}{2+4}Q_2より Q_1 = 16 \div \frac{3}{2} = \frac[32][3]$$ $$V = \frac{32}{3} \div 4 = \frac{8}{3} Ans（３）$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$