交流回路

正弦波交流

$$v=V_m \sin(\omega t +\theta ) フェーザ（ベクトル）表現：V = Vm∠\theta$$

$$v:瞬時値[V]　V_m：最大値、振幅$$

$$\omega：角速度、角周波数[rad/s]$$

$$\theta　：初期位相角[rad]$$

$$T=\frac{2\pi}{\omega} :周期[s],周波数f=\frac{1}{T}[Hz]$$

$$実効値V=\root \of{\frac1T \int^T_0 v^2 dt}=\frac{V_m}{\root \of2}$$

$$[\sin{(\alpha + \beta)} = \sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha}sin{\beta}]$$ $$T = \omega t + \theta と置くとe_1 + e_2 = E\{ \sin{T} + \sqrt{3} \sin{{T} + \frac{\pi}{2}}\}$$ $$= E\{ \sin{T} + \sqrt{3} (\sin{T} \cos{\frac{\pi}{2}} + \cos{T}sin{\frac{\pi}{2}})\}$$ $$= 2E\{ \frac{1}{2}\sin{T} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos{T}\}$$ $$= 2E\{ \cos{\frac{\pi}{3}}\sin{T} + \sin{\frac{\pi}{3}} \cos{T}\} $$ $$= 2E \sin{(\omega t + \theta + \frac{\pi}{3})}$$ $$または、$$ $$e_2はe_1より位相が\frac{\pi}{2}進んでいて、大きさは\sqrt{3}倍なので$$ $$E_1= E, E_2 = j\sqrt{3}E$$ $$E_1 + E_2の大きさは\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$$ $$E_1 + E_2の角度は\arctan{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3}$$ $$よってe_1 + e_2 =2E \sin{(\omega t + \theta + \frac{\pi}{3})}$$ Ans.（５）

電圧と電流の位相関係

コンデンサやコイルに流れる電流は電圧と位相がずれます。

$$Ｖ＝ＺＩ。　Ｚ：インピーダンス[Ω]$$

$$\theta :電流と電圧の位相差[rad],j:複素数$$

抵抗

$$Z=R 。Z:抵抗値[Ω]$$

$$V=RI$$

$$\theta = 0$$

電流と電圧の位相差なし（同相）。

コンデンサ

$$Z=\frac{1}{j\omega C}。C：静電容量[F] $$

$$V=\frac{I}{j\omega C} = -j\frac{I}{\omega C}$$

$$\theta = -\frac{\pi}{2}$$

コンデンサに流れる電流はそこにかかる電圧より位相がθほど遅れている。

コイル

$$Z=j\omega L。L:インダクタンス[H]$$

$$V=j\omega L I$$

$$\theta = \frac{\pi}{2}$$

コイルに流れる電流はそこにかかる電圧より位相がθほど進んでいる。

インピーダンス

$$Z=R+jX$$

R:レジスタンス（抵抗分）X:リアクタンス（コイルとコンデンサ分）X＞0：誘導性、X＜0：容量性

$$R=|Z| \cos\theta ,X=|Z|\sin\theta,\theta=\arctan{\frac{X}{R}}$$

電力

$$P(t)=v(t)i(t)$$

有効電力

電源から負荷Zへ供給される瞬時電力の平均値$$P=|V||I|\cos\theta　= R I^2[W]$$

皮相電力

見かけの電力$$S=|V||I|　[VA]$$

無効電力

電圧と電流が直交する電力。平均すると０。電源と負荷との間のエネルギーのやり取り$$Q=|V||I|\sin\theta = X I^2　[var]$$

$$Q = 1200 = X I^2 = X 10^2 , X = 12$$ $$E = Z I = \sqrt{R^2 + X^2}I $$ $$200 = \sqrt{R^2 + 12^2}10$$ $$R = 16$$ $$Ans.（４）$$ $$$$

RLC直列回路

$$\bf{V} = \bf{V_R} + \bf{V_L} + \bf{V_C}。$$

$$Z=R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})$$

$$|Z|=\root \of{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}$$

電流が最大の場合はインピーダンスが最小の時。つまりリアクタンスが０。

$$|Z|_{min}=R,\omega L-\frac{1}{\omega C}=0$$

リアクタンスが０時を共振状態という。その時の周波数を共振周波数という。

$$\omega_0 = \frac{1}{\root \of{LC}}$$

$$電源電圧と電流が同相：V_CとV_Lの和が０、リアクタンスが０の時。$$ $$その時の周波数は共振周波数。$$ $$\omega = \frac{1}{\root \of{LC}} = \frac{1}{\root \of{2 \times 10^{-3} \times 0.8 \times 10^{-6}}}$$ $$= 2.5 \times 10^4 [rad/s] $$ $$Ans.（４）$$ $$$$

$$共振周波数 f_0 = \frac{\omega_0 }{2 \pi }$$ $$回路A　f_A = \frac{1}{2 \pi \root \of{LC}}$$ $$回路B　f_B = \frac{1}{2 \pi \root \of{2LC}}$$ $$回路AB　コイルの合成リアクタンスは3L, コンデンサの合成容量は\frac{C}{2}$$ $$f_{AB} = \frac{1}{2 \pi \root \of{\frac{3}{2}LC}}$$ $$よってf_A＞f_{AB}＞f_B 。Ans.（５）$$

RLC並列回路

$$\bf{I} = \bf{I_R} + \bf{I_L} + \bf{I_C}。$$

$$\frac{1}{Z}=\frac1R +j(\omega C-\frac{1}{\omega L})$$

$$Z=\frac{1}{\frac1R +j(\omega C-\frac{1}{\omega L})}$$

$$|Z|=\root \of{\frac{1}{\frac1R^2 +(\omega C-\frac{1}{\omega L})^2}}$$

電流が最大の場合はインピーダンスが最小の時。つまりリアクタンスが０。

$$|Z|_{min}=R,\omega C-\frac{1}{\omega L}=0$$

リアクタンスが０時を共振状態という。その時の周波数を共振周波数という。

$$\omega_0 = \frac{1}{\root \of{LC}}$$

$$ i_L = - j\frac{e}{\omega L} , i_C = j \omega C e$$ $$i = i_L + i_C = j(\omega C - \frac{1}{\omega L}) =0 ,\omega = \frac{1}{LC}$$ $$Ans.（１）$$ $$$$