集合
集合：ある集まりのうち定義が具体的に示されているもの。そのものを集合の要素又は元という。
$$a \in A aは集合Aの要素（帰属関係）b \notin A bは集合Aの要素ではない$$ $$A = \{2,4,6\} 要素の列挙$$ $$A = \{2n|n=1,2,3\} 条件$$ $$A \subset B AはBの部分集合（包含関係）x \in Aならばx \in Bが成り立つ$$ $$A=B AとBの要素が同一。A \subset BかつB \subset A$$
和集合∪：少なくとも一方に属する要素全体の集合 $$A \cup B = \{x | x \in A またはx \in B\}$$
積集合∩：どちらにも共通に属する要素全体の集合 $$A \cap B = \{x | x \in A かつx \in B\}$$
補集合￣：全体集合Ｕに関するAの補集合 Aに属さないＵの要素全体の集合 $$ \overline A = \{x | x \in Ｕ かつx \notin A\}$$ $$A \cup \overline A = Ｕ,A \cap \overline A = \phi（空集合）$$
$$\overline {\overline A},A \subset B ならば \overline A \supset \overline B $$
ド・モルガンの定理 $$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B} $$ $$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$$
有限集合：要素に限りがある集合
無限集合：無限に要素がある集合
空集合：要素を持たない集合。φ
個数定理
Pを有限集合とするとき、その要素の個数をn(P)で表す $$A \cap B = \phi の時,n(A \cup B) = n(A) + nB)$$ $$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$ $$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) +n(C) - n(A \cap B)- n(C \cap A)- n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$$
Ｕを全体集合都市、その部分集合をAとすると、 $$n( \overline A) = n(Ｕ)-n(A)$$
差集合−$$A-B = A \cap \overline B$$
命題
命題：正しいか正しくないかが明確に決まる式や文章
真：命題が正しい、偽：命題がただしくない
p⇒q(pならばqである)pが仮定（条件）、qが結論
pであってqではない例（反例）があると、p⇒qは偽
条件pについて、それを考える対象xの全体の集合をAとする。Aの各要素xに対して、条件pを考えるとき、命題p(x)が真である。全体集合Pを条件pの真理集合Pという。 $$P = \{x|p(x),x \in A\}$$
条件p,qの真理集合をP,Qとすると、p⇒qが真とP \subset Q、P=Qは同値
条件pの否定p:条件pの真理集合はPの補集合P
命題p⇒qが真であるとき、qはpであるための必要条件、pはqであるための十分条件
p⇒qもq⇒pともに真、p⇔qが真のとき、pとqは互いにほかの必要十分条件、pとqは同値
命題p⇒qに対し、q⇒pを逆、q⇒pを対偶、p⇒qを裏。
真の命題の逆は必ずしも真ではない。対偶の関係にある二つの命題はともに真かともに偽。
直接説明法：家庭から推論をすすめ、直接結論を導く方法。
間接証明法
背理法：命題が偽と仮定してその矛盾を導き、命題を真とする証明法
転換法： $$命題p_1 ⇒q_1,p_2⇒q_2…がすべて真$$ $$仮定：p_1,p_2…がすべての場合を示している$$ $$結論：q_1,q_2…はどの二つも両立することがない$$ $$このとき逆q_1⇒p_1,q_2⇒p_2…はすべて真とする証明法$$