確率

確率

各根元事象が同様に確からしい一つの施行において事象Aの起こる確率は $$P(A) = \frac{事象の起こる場合の数a}{起こりうるすべての場合の数N}$$

試行：同じ状態の下で繰り返し行うことができ、その結果が偶然に支配される実験や観察

事象：試行の結果として起こる事柄

確率：一つの試行においてある事象Aの起こることが期待される割合P(A)

全事象：ある試行において起こりうる場合の全体の集合U

根元事象：Uの個の要素からなる部分集合

順列：区別可能な特定の元から有限個を選んで作られる重複の無い有限列
異なるn個のものからr個とった順列の総数 $${}_n P _r = \frac{n!}{(n-r)!}$$
異なるn個のものを並べる円順列（回転して一致は同じ）の総数 $$(n-1)!$$ 異なるn個のものを並べる数珠順列（反転して一致は同じ）の総数
$$\frac{(n-1)!}{n}$$
重複順列：n個のものからr個とる組み合わせの総数 $$n^r$$

組み合わせ：相異なる（あるいは区別可能な）いくつかの要素の集まりからいくつかの要素を（重複無く）選び出す方法
異なるn個のものからr個とる組み合わせの総数 $${}_n C _r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$ $${} _n C _r ={} _n C _{n-r} ,{} _n C _r = {} _{n-1} C _r + {} _{n-1} C _{r-1} $$ n個のうちp個だけが同じもの、n個全部を一列に並べる順列の総数 $${} _n C _p ×{} _n C _{n-p} = \frac{n!}{p!}$$ 重複組み合わせ：n個の異なるものから繰り返しを許してr個とる組み合わせの総数
$${}_{n+r-1} C _r$$

確率の基本性質

事象Aの起こる確率P(A)、全事象U、空事象φに対して
$$0 \leqq P(A) \leqq 1 ,P(\phi) = 0, P(U) = 1$$

加法定理
$$A,Bがお互いに排反（A \cap B = \phi）の時、互いに排反事象$$ $$P(A \cup B) = P(A)+P(B)$$ $$一般には、P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)$$

余事象の確率 $$P(\overline A) = 1-P(A)$$

独立試行の定理：二つの独立な試行T1,T2をまとめた試行（独立試行）下においてT1では事象AがT2では事象Bが起こる事象をCとすると $$P(C) = P(A)P(B)$$

反復試行の定理：一回の試行で事象が起こる確率をPとする。この施行をn回行う時、事象Aがちょうどr回起こる確率をP_r(A)で表すと $$P_r(A) = {}_n C _r P^r q^{n-r}$$

乗法定理：事象Aが起こった時に事象Bが起こる条件付き確率をP(B|A) $$P(A \cap B) = P(A)P(B|A)$$

条件付き確率 $$P(B|A)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$

ベイズの定理：P(B)を事象Aが起きる前の事象Bが起きる確率（事前確率）、P(B|A)を事象Aが起きた後で事象Bが起きる確率（事後確率）。