行列

スカラー：数値

ベクトル：スカラーが縦か横に一直線に並んだもの

行列：スカラーが縦(i行)と横（j列）に並んだもの

行列

$$A = B \Leftrightarrow　全てのi,jに対してa_{ij},b_{ij}$$

$$\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12}\\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a' & b'\\ c' & d' \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x_{11} = a' , x_{12} = b'\\ x_{21} = c' , x_{22} = d' \end{array} $$

$$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} a' & b'\\ c' & d' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \pm a' & b \pm b'\\ c \pm c' & d \pm d' \end{pmatrix}$$

$$k \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka & kb\\ kc & kd \end{pmatrix} $$

$$A+B = B+A,(A+B)+C = A + (B+C)$$

$$零行列０（すべての成分が0）A+０=０+A,A-A=０$$

$$(-1)A = -A,０A=０,(k+l)A = kA+lA,k(A+B) = kA+kB$$

行列：数や文字を長方形上にならべたもの

成分：行列の各の数や文字

行：横の並び、列：縦の並び

m行n列、m×n行列。第i行と第j列の交点にある成分：（i,j）成分

$$単位行列E：成分(k,k)が１，そのほかの成分が０$$

$$転置行列A^T：Aの列と行を入れ替えた行列$$

$$$$

行列の積

２つの行列A,Bに対して、Aの列数=Bの行数の時、積ABが計算できる。l×m行列とm×n行列の積はl×n行列

$$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p & r\\ q & s \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} ap+bq & ar+bs\\ cp+dq & cr+ds \end{pmatrix} $$

$$(AB)C=A(BC),(A+B)C=AC+BC,C(A+B)=VA+CB$$

$$(kA)B=A(kB)=k(AB),AB \neq BA$$

AB=0であってもA=0またはB=0とは限らない

ハミルトン・ケーリーの定理 $$A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = 0,A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix},E=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

逆行列

正方行列に対し、ＡＸ＝ＸＡ＝Ｅを満たす正方行列ＸをＡの逆行列Ａ^-1 $$行列A　=　\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} 、\Delta = ad - bc$$

$$\Delta \ne 0 ならば,A^{-1} = \frac{1}{\Delta}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$$

$$\Delta = 0 ならばAの逆行列は存在しない$$

$$A　=　\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} 、\Delta (A) = ad - bc \Rightarrow \Delta (AB) = \Delta (A) \Delta (B) $$

$$AA^{-1} = A^{-1}A = E, AB=Eならば B=A^{-1},A = B^{-1}$$

$$(A^{-1})^{-1} =A,A^{-1}B^{-1}が存在すると(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$$

固有値と固有値ベクトル

ｎ次の正方行列Ａに対して、Ａx = λxを満たすベクトルxとスカラーλが存在するとき、λをＡの固有値、xを固有値λに対するＡの固有ベクトルという $$f_A( \lambda) = |Ａ- \lambda E| = 0 :固有方程式$$

$$各固有値 \lambda_i に対する固有ベクトル \mathbf{x_i}は　（Ａ- \lambda_i E）\mathbf{x_i} = 0 $$

行列式

$$A　=　\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} の行列式|A|　=　\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} =ad-bc$$

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = (-1)^{1+1}a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} +(-1)^{1+2}a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} +(-1)^{1+3}a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} $$

サラスの方法 $$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$$

連立一次方程式と行列

$$\left\{ \begin{array}{l} ax+by =p\\ cx+dy=q\end{array} \right. \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} = A,\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=X,\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}=P 。AX=P$$

$$A^{-1}が存在するとき、X=A^{-1}P$$ $$A^{-1}が存在しないとき、無数に多くの解を持つか解が存在しない$$

掃き出し法：連立一次方程式に対応する行列に基本変形を行って、連立一次方程式の解を求める方法

$$行列の基本変形\left\{ \begin{array}{l} １つの行に、他の行の何倍かを加える\\ １つの行に０出ない数を掛ける\\ ２つの行を入れ替える\end{array} \right.$$

$$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}、対応する行列\begin{pmatrix} a & b & p\\ c & d & q \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & p'\\ 0 & 1 & q' \end{pmatrix}に変形。x=p',y=q'$$

連立一次方程式と行列式

クラーメルの公式

$$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}、\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} \neq 0の時、 $$ $$x = \frac{ \begin{vmatrix} p & b\\ g & d \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} },y = \frac{ \begin{vmatrix} a & p\\ c & q \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} }$$

三元の場合、 $$x = \frac{ \begin{vmatrix} p & b & c\\ q & e & f\\ r & h & i \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix} },y = \frac{ \begin{vmatrix} a & p & c\\ d & q & f\\ g & r & i \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix} }, z = \frac{ \begin{vmatrix} a & b & p\\ d & e & g\\ g & h & r \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix} }$$